Addition zweier Matrizen:
Um zwei Matrizen zu addieren, müssen diese das gleiche Format haben, also gleich viele Zeilen und gleichviele Spalten.
Zur Addition werden einfach jeweils die zwei an gleicher Position stehenden Elemente addiert.

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
Ein Skalar, also eine einfache Zahl wird mit einer Matrix multipliziert, indem jedes einzelne Element mit ihm multipliziert wird.

Bis hier waren die Operationen also identisch wie bei der Vektorrechnung.

Multiplikation zweier Matrizen
Um zwei Matrizen multiplizieren zu können, muss eine Voraussetzung erfüllt sein: Die erste Matrix muss genauso viele Spalten haben, wie die zweite Matrix Zeilen hat. Ist dies nicht gegeben, läßt sich keine Multiplikation durchführen.
Zu beachten ist auch, daß diese Operation NICHT kommutativ ist, also a * b nicht umdrehbar in b * a.
Ich zeige hier die Multiplikation anhand einer (2x4)-Matrix A und einer (4x2)-Matrix B. Schaut Euch die Grafik kurz an, die Erklärung folgt darunter:

Zu sehen ist die Multiplikation A * B = C. Bei meiner Schreibweise oben ist wichtig zu beachten, daß Matrix A links und Matrix B oben stehen müssen.
Zuerst also Matrizen (rot und blau) so hinschreiben. Dann jedes Element von C einzeln wie folgt ausrechnen: Um erstes Element von C zu bekommen,
[multiplizieren wir 1. Element der 1.Zeile von A mit erstem Element aus 1.Spalte von B] addieren dazu [zweites Element aus 1. Zeile von A mit zweitem Element aus 1.Spalte von B] addieren dazu ...
Im Beispiel habe ich beispielhaft das Element oben links von C (1.Zeile 1.Spalte) unter der Grafik vorgerechnet.
Achtung: Es gilt NICHT das Kommutativgesetz, Ihr müßt also beachten, ob von rechts oder von links multipliziert wird!
Dazu noch das Produkt B * A:

Ihr seht also, daß das Produkt immer eine quadratische Matrix ist, deren Größe der Zeilenanzahl der ersten, bzw. Spaltenanzahl der zweiten Matrix entspricht!

Gauß-Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.
Da Matrizen ja so etwas wie Gleichungssysteme sind, können wir sie zur Lösung von komplexeren linearen (also die Variablen x nur in erster Potenz) Gleichungssystemen benutzen.
Das Gaußverfahren basiert auf der Gleichung A * x = B => x = A^(-1) * B , wobei A eine (Koeffizienten-) Matrix, x und B Spaltenvektoren sind. Durch dieses Verfahren rechnen wir die linke Seite auf (Einheitsmatrix) * (x-Vektor) herunter und auf der rechten Seite steht insgesamt ein Spaltenvektor, genauer der Lösungsvektor.
Nachfolgend schildere ich beispielhaft die Lösung eins Gleichungssystems.
Gegeben sind 5 Gleichungen mit den Variablen x1 - x5. Damit wissen wir schonmal, daß sie theoretisch lösbar sind, wegen 5 Gleichungen für 5 Unbekannte:

Die Koeffizienten dieser Gleichungen sind die Elemente folgender Matrix. Es hat sich nichts geändert, es ist nur eine andere Darstellungsweise! Rechts vom Strich steht die rechte Seite der Gleichungen.

Der Gaußalgorithmus hat zum Ziel, daß nur noch in der Hauptdiagonalen (grüne Linie) Werte stehen. Der Rest soll zu Null werden. Dazu führen wir mit den Zeilen und Spalten Operationen aus, die erlaubten Operationen von normalen Gleichungen entsprechen. Wir dürfen Zeilen multiplizieren, wobei jedes Element multipliziert werden muss! Wir dürfen Zeilen mit anderen Zeilen addieren-auch hier ist immer jedes Element der Zeile zu berücksichtigen! Und wir dürfen auch Zeilen beliebig vertauschen.

Ich will erreichen, daß in der ersten Spalte nur noch Nullen stehen außer in der ersten Zeile. Zunächst ist es im Allgemeinen sinnvoll, sich die Zeilen so zu tauschen, daß die erste Zeile am Anfang einen möglichst kleinen Koeffizienten hat. Hier ist es sowieso schon die 1, also mache ich nichts. Ganz rechts seht Ihr jeweils, was ich mit der Zeile zu tun gedenke: Ich multipliziere die erste Zeile mit 1 und addiere sie zu der zweiten. Ich addiere sie ebenfalls zu der dritten Zeile. Ich multipliziere dann die erste Zeile mit -2 und addiere sie zur dritten Zeile. In der vierten Zeile steht am Anfang schon eine Null, ich lasse sie also, so wie sie ist. Das Ergebnis meines Tuns:

Im nächsten Schritt, will ich in der zweiten Spalte nur noch in der zweiten Zeile etwas stehen haben und ansonsten nur Nullen. Rechts habe ich wieder notiert, was ich mit welcher Zeile mache. Das Ergebnis:

Es ist zu sehen, daß wir in zwei Zeilen nur noch Nullen stehen haben.Das bedeutet, daß diese Matrix linear abhängige Vektoren enthielt, bzw. daß das LGS unterbestimmt ist. D.h. wir können keine eindeutigen Werte für die x ermitteln. Weiter geht es nun mit der vierten Spalte und Reihe:

Weiter geht´s nicht mehr. Die Zeilen (I) bis (V) wieder als normale Gleichungen schreiben:

Es sind nur noch drei Gleichungen mit fünf Unbekannten. Wir können also jede Unbekannte nur in Abhängigkeit von ein oder zwei anderen darstellen.
Ein Endergebnis ist:

Invertieren einer Matrix
Invertieren einer Matrix ist gleichbedeutend damit, eine Umkehrung einer Matrix zu bilden. Die Umkehrung einer Matrix hat dieselbe Bedeutung, wie der Kehrwert bei der Multiplikation im Körper der reellen Zahlen. Die Multiplikation einer Matrix mit ihrer Umkehrung ergibt die neutrale Matrix (Einheitsmatrix). Bei der Multiplikation der reellen Zahlen ist das neutrale Element einfach die 1, bei Matrizen ist die neutrale Matrix, die Einsen in der Hauptdiagonalen stehen hat und ansonsten nur Nullen enthält.
Wie man diese Umkehrung finden kann, will ich im Folgenden an einem Beispiel zeigen.
Ich will die Umkehrung der Matrix A finden.

Wir beginnen immer damit, daß wir uns den Inhalt der zu invertierende Matrix links aufschreiben und rechts daneben die passende neutrale Matrix:

Das Ziel ist nun, damit so herum zu rechnen, daß LINKS die Einheitsmatrix erscheint und damit rechts automatisch die inverse Matrix entsteht!
Dazu sind uns folgende Operationen erlaubt:

• Vertauschen von Zeilen
• Multiplikation von Zeilen
• Addition einer Zeile zu einer anderen
• Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen